2.2.1 缺失数据填补

我们的数据集，正和许多类似的真实世界数据集一样，存在着许多缺失数据NA. 缺失数据的处理方式不外乎删除或填补.

• 对于我们的investment数据集，其缺失普遍存在，故我们采用填补的方法.
• 对于本次大赛提供的世界健康数据集，其缺失更有规律，即对于任意一个国家，缺失一个时间点的数据意味着缺失此前所有数据. 恰当地选择时间范围，再删去个别几个缺失较大的国家²，就在可以避免填补的同时保留大部分数据. 因此，我们选择删去.

对于前者，我们调用R包mice^[4]，采用linear regression with bootstrap的方法进行缺失数据填补. 首先，对数据进行bootstrap重抽样^[5]，然后进行线性回归插值，最终计算得到合成的结果. 其中，多元线性回归采用Schafer的算法^[6].

2.2.2 二重差分法

二重差分法(Difference-in-Differences, DID)是一种经典技术. 所谓二重差分，就是先把实验组与对照组作差，再对差作差分，考察其随时间的变化情况. 换句话说，此方法假定对于每个固定的\(t\)，存在一个固定的内禀的\(\mu\). 具体来说，就是以下模型^[7]

\[ P_{t}^{N}=\mu+\frac{1}{J} \sum_{j=2}^{J+1} Y_{j t}^{N} \]

并用如下公式来估计.

\[ \hat{P}_{t}^{N}=\frac{1}{T} \sum_{s=1}^{T}\left(Y_{1 s}^{N}-\frac{1}{J} \sum_{j=2}^{J+1} Y_{j s}^{N}\right)+\frac{1}{J} \sum_{j=2}^{J+1} Y_{j t}^{N} \]

2.2.3 合成控制法

合成控制法(Synthetic Control)是另一种经典技术. 不难发现，DID所要求的条件过高，在现实生活中一般并不成立. 举例来说，实验组可能有其自身特点，导致增长本来就比对照组快. 而所谓合成控制，就是用对照组的数据“合成”出来一个虚拟的实验组，然后应用到事件发生后的情况，得到实验组的反事实数据. 具体来说，就是以下模型^[8]

\[ P_{t}^{N}=\sum_{j=2}^{J+1} w_{j} Y_{j t}^{N}, \text{where }w \geq 0,\ \sum_{j=2}^{J+1} w_{j}=1. \]

为了识别合成的权重\(w\)，我们需要一些假设，在这里是结构冲击项\(u_{t}\)在同一时段内互不相关，即：

\[ E\left(u_{i} Y_{j t}^{N}\right)=0 \text{, for } 2 \leq j \leq J+1 . \]

于是就有估计 \[ \hat{P}_{t}^{N}=\sum_{j=2}^{J+1} \hat{w}_{j} Y_{j t}^{N}. \]

而\(w\)的估计

\[ \begin{aligned} \hat{w}=\ &\arg\min_{w} \sum_{i=1}^{T}\left(Y_{1 t}^{N}-\sum_{j=2}^{J+1} w_{j} Y_{j t}^{N}\right)^{2},\\ &\text{subject to }w\geq 0,\ \sum_{j=2}^{J+1} w_{j}=1. \end{aligned} \]

此后，我们利用Chernozhukov et al.^[9]的方法分析P值和置信区间等信息.

2.3.1 Non-standard evaluation, NSE

本项目使用了一种在R中非常重要的技术，即Non-standard evaluation.^[10]

具体来说，让我们看一段代码：

### Using lazy evaluation to replicate a func along country list
repli <- function(fun) {
  ex <- substitute(fun)

  for (i in seq_along(country_list)) {
    # ...
    eval(ex, envir = globalenv())
  }
}

repli(placebo_specification_test())

R采用lazy evaluation，只有在真正用到fun的时候才会对其进行求值，其中fun的返回值并不必须良定. 这在这里是重要的特性，因为一般的语言具有引用透明(reference transparency)的特点，会将fun的返回值作为repli的输入，这会对我们的目标造成不便. 此处，substitute将参数转变为promise，而并不对其进行求值；在for循环内部，调用eval进行求值，以达到重复执行某个函数的目的.

3.1.1 R环境

本项目的R部分使用如下环境生成，base包和部分依赖已省略.

## R version 4.1.0 (2021-05-18)
## Platform: x86_64-pc-linux-gnu (64-bit)
## Running under: Ubuntu 20.04.2 LTS
## 
## Locale:
##   LC_CTYPE=zh_CN.UTF-8       LC_NUMERIC=C              
##   LC_TIME=zh_CN.UTF-8        LC_COLLATE=zh_CN.UTF-8    
##   LC_MONETARY=zh_CN.UTF-8    LC_MESSAGES=zh_CN.UTF-8   
##   LC_PAPER=zh_CN.UTF-8       LC_NAME=C                 
##   LC_ADDRESS=C               LC_TELEPHONE=C            
##   LC_MEASUREMENT=zh_CN.UTF-8 LC_IDENTIFICATION=C       
## 
## Package version:
##   dplyr_1.0.6      ggdag_0.2.3      lubridate_1.7.10 mice_3.13.0     
##   plotrix_3.8.1    purrr_0.3.4      readr_1.4.0      showtext_0.9-2  
##   stringr_1.4.0    tidyr_1.1.3      tidyverse_1.3.1  VIM_6.1.0

3.1.2 python环境

…